Ряд Фурье по тригонометрической системе

Пусть $f(x)$ интегрируема на $[-\pi,\pi]$ $$a_{0} = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\, dx$$ $$a_{k}=\dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx)\, dx ~;~~b_{k}=-\dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(kx)\, dx$$ тогда: $\dfrac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}\cos(kx) + b_{k}\sin(kx)) = f(x)$ $f(x)~-$называется рядом Фурье по тригонометрической системе

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}\cos(kx) + b_{k}\sin(kx))$ $$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\, dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi} a_{0}\, dx = 2\pi a_{0} \Rightarrow a_{0}=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\, dx$$ $$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\, dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi} a_{n}\cos(nx) * \cos(nx)\, dx = \pi a_{n} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a_{n} = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\, dx$$